PGAI (2.26)証明

ちょっと手こずったのでメモ

$ \begin{aligned}　\underline{a \vee b} &= \underline{\underline{\overline{a} \wedge \overline{b}}} \\ &= \overline{\overline{\overline{a} \wedge \overline{b}}} \\ &= (-1)^{\mathrm{gr}(\overline{a} \wedge \overline{b}) \mathrm{ag}(\overline{a} \wedge \overline{b})} \overline{a} \wedge \overline{b} \end{aligned}

ここで、指数部を展開して計算すると

$ \begin{aligned} \mathrm{gr}(\overline{a} \wedge \overline{b}) \mathrm{ag}(\overline{a} \wedge \overline{b}) &= (\mathrm{gr}(\overline{a}) + \mathrm{gr}(\overline{b}))(n-\mathrm{gr}(\overline{a}) - \mathrm{gr}(\overline{b}) ) \\ &=\mathrm{gr}(\overline{a}) \mathrm{ag}(\overline{a}) + \mathrm{gr}(\overline{b}) \mathrm{ag}(\overline{b}) - 2 \mathrm{ag}(\overline{a}) \mathrm{ag}(\overline{b}) \end{aligned}

偶数の項は消去されるので、次のように展開できる

$ \begin{aligned}　\underline{a \vee b} &= (-1)^{\mathrm{gr}(\overline{a} \wedge \overline{b}) \mathrm{ag}(\overline{a} \wedge \overline{b})} \overline{a} \wedge \overline{b} \\ &= (-1)^{\mathrm{gr} (\overline{a})\mathrm{ag} (\overline{a})} \overline{a} \wedge (-1)^{\mathrm{gr} (\overline{b})\mathrm{ag} (\overline{b})} \overline{b} \\ &= \underline{a} \wedge \underline{b} \end{aligned}